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Bewegung erscheint als Masse

Wir betrachten ein einfaches Beispiel. Das Beispiel soll nur das Prinzip zeigen, um das es hier geht. Vorausgesetzt werden Grundkenntnisse der speziellen Relativitätstheorie. Wir verwenden diese Metrik mit positiver Zeitkomponente:
\begin{equation}
g ={\begin{pmatrix}+1&0&0&0 \\ 0&-1&0&0 \\ 0&0&-1&0 \\ 0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}
\end{equation}
Ein Massenpunkt der Masse \(\mu\) hat im eigenen Ruhesystem den Energie-Impuls-Vektor
\begin{equation}
p = \mu \begin{pmatrix} c \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{equation}
c bezeichnet die Lichtgeschwindigkeit. Die Sicht eines bewegten Beobachters \(Z\) wird durch die Lorentz-Transformation
\begin{equation}
\Lambda={\begin{pmatrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}
\quad\quad
\Lambda^{-1}={\begin{pmatrix}\gamma &\gamma \beta &0&0\\ \gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}
\end{equation}
erhalten mit den üblichen Abkürzungen \(\beta ={\frac {v}{c}}\) und \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\). Wir wollen ein Beispiel betrachten, in dem 2 Massenpunkte, beide mit der Masse \(\mu\), auf einer Kreisbahn um den zentralen Beobachter Z laufen. Unser Koordinatensystem haben wir so gewählt, dass die Kreisbahn in der xy-Ebene verläuft.
Die Massenpunkte haben in ihren eigenen Bezugssystemen \(O_1\) bzw. \(O_2\) beide die Energie-Impuls-Vektoren
\begin{equation}
p^{(1)O_1} = \mu \begin{pmatrix} c \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\quad \quad
p^{(2)O_2} = \mu \begin{pmatrix} c \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{equation}
Aus Sicht von \(Z\) haben sie die lorentz-transformierten Energie-Impuls-Vektoren
\begin{equation}
p^{(1)Z} = \Lambda^{-1} p^{(1)O_1} = \gamma \mu \begin{pmatrix} c \\ v \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\quad \quad
p^{(2)Z} = \Lambda^{-1} p^{(2)O_2} = \gamma \mu \begin{pmatrix} c \\ -v \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{equation}
Dabei haben wir beachtet: die Lorentz-Transformation transformiert auf die Sicht des bewegten Beobachters. Wir wollen aber \(Z\) ruhend sehen. Deswegen brauchen wir jeweils die inverse Transformation (die x-Achse soll nach rechts zeigen).

Durch eine hier nicht weiter interessierende Kraft sollen die beiden Massenpunkt auf eine Kreisbahn gezwungen sein. Das erreichen wir durch Rotation des oberen Bildes (angedeutet durch die gestrichelte Kreislinie). Die Sicht eines nicht-rotierenden Beobachters \(Z'\) auf die rotierenden Massenpunkte ergibt sich über die Transformation \(R\)
\begin{equation}
R ={\begin{pmatrix}1&0&0&0 \\ 0&\cos{\omega t}&\sin{\omega t}&0 \\ 0&-\sin{\omega t}&\cos{\omega t}&0 \\ 0&0&0&1\\\end{pmatrix}}
\end{equation}
die wie \(\Lambda\) und \(\Lambda^{-1}\) ein Element der Poincaré-Gruppe ist. Zusammen ergeben sich durch \(R\Lambda^{-1}\) die Impulse
\begin{equation}
p^{(1)Z'} = \gamma \mu \begin{pmatrix} c \\ v \cos{\omega t} \\ -v \sin{\omega t} \\ 0 \end{pmatrix}
\quad \quad
p^{(2)Z'} = \gamma \mu \begin{pmatrix} c \\ -v \cos{\omega t} \\ v \sin{\omega t} \\ 0 \end{pmatrix}
\end{equation}
aus Sicht von \(Z'\). \(Z'\) soll nur grobe Instrumente zur Verfügung haben. Er hat keine Möglichkeiten, die beiden Massenpunkte einzeln aufzulösen. Er muss dann denken, dass das zusammengesetzte Gebilde ein einzelner ruhender Massenpunkt der Masse m ist:
\begin{equation}
p = m \begin{pmatrix} c \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{equation}
„Nicht einzeln auflösen“ bedeutet, dass \(Z'\) nur den Gesamtimpuls
\begin{equation}
p^{(1)Z'} + p^{(1)Z'} = 2 \gamma \mu \begin{pmatrix} c \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \equiv p^{Z'}
\end{equation}
wahrnehmen kann. Für ihn sieht das rotierende Gebilde aus wie ein Massenpunkt der Masse \( 2 \gamma \mu \).

Fazit

Reicht die Genauigkeit eines Experiments oder einer Theorie nicht aus, um von einem Gebilde die innere Struktur aufzulösen, so kann Bewegung als Teil einer Massen„konstante“ versteckt sein. Da \( \gamma \) immer größer als 1 ist, vergrößert Bewegung die im Inneren vorhandenen einzelnen Ruhemassen immer. Schon hier stellt sich die Frage: gäbe es am Ende überhaupt noch Massenkonstanten, wenn man beliebig tief hineinsehen könnte?