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Wächst die Entropie?

Blabla klassisches delta S >= 0 wiederholen: wie kam man dazu?

Wachsende Entropie in der nicht-relativistischen Quantenmechanik

Möglichkeit 1: Unitäre Zeitentwicklung ausgehend von einem Zustand minimaler Entropie

Wir lehnen uns an an das Beispiel aus [Rieder 9.1.1]. Dort wurden für denselben Zustandsvektor bei 2 verschiedenen gedachten Zweiteilungen seines Hilbertraums 2 verschiedene Entropiewerte berechnet.

Auch hier wollen wir von einem Zustand \(|\psi>\) in einem Produktraum \(\mathbb{H}\) aus 3 Qubits ausgehen. Anstatt die Zweiteilung zu ändern soll sich jedoch der Zustand zeitlich in einen anderen Zustand entwickeln. Dies wird von einem unitären Zeitentwicklungsoperator \(\hat{U} = e^{{-\frac{i}{\hbar} t \hat{H}}}\) bewerkstelligt. Der Zustand zur Zeit \(t=0\) soll sein
\begin{equation}
|\psi(t=0)> = \frac{1}{\sqrt{2}} ( |0_{III}1_{II}1_{I}> + |0_{III}0_{II}0_{I}> ) = \frac{1}{\sqrt{2}}|0_{III}> \otimes \, ( |1_{II}1_{I}> + |0_{II}0_{I}> )
\end{equation}
Bei einer Teilung zwischen \(\mathbb{H}_{III}\) und \(\mathbb{H}_{I} \otimes \mathbb{H}_{II}\) handelt es sich um einen reinen Produktzustand, ohne Verschränkung, mit Entropie \(S_{III/I+II}=0\). Der Zielzustand
\begin{equation}
|\psi(t>0)> = \frac{1}{\sqrt{2}} ( |1_{III}1_{II}0_{I}> + |0_{III}0_{II}0_{I}> ) = \frac{1}{\sqrt{2}} ( |1_{III}> \otimes \, |1_{II}0_{I}> + |0_{III}> \otimes \, |0_{II}0_{I}> )
\end{equation}
ist bei einer Teilung zwischen \(\mathbb{H}_{III}\) und \(\mathbb{H}_{I} \otimes \mathbb{H}_{II}\) maximal verschränkt und hat die Entropie \(S_{III/I+II}=1\).

Um nicht in spitzen Klammern und senkrechten Strichen zu ertrinken, wechseln wir auf die Darstellung in der Qubit-Basis. Darin ausgedrückt geht es um diese Zeitentwicklung (\(U\) und \(H\) sind nun Matrizen)
\begin{equation}
\psi(t=0) =\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\quad \mapsto \quad
\psi(t>0) = U\psi(t=0) = e^{{-\frac{i}{\hbar} t H}} \psi(t=0) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{equation}
Eine von vielen unitären Matrizen, die diese Abbildung bewerkstelligt, ist diese orthogonale Matrix
\begin{equation}
U_1 =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{equation}
Diese Matrix macht nichts weiter, als die Komponenten mit den Indizes 3 und 6 gegeneinander zu tauschen. Eine weitere Matrix, die dies bewerkstelligt ist
\begin{equation}
U_2 =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{equation}
\(U_2\) hat gegenüber \(U_1\) allerdings die Eigenschaft, dass sie generell die Zustände der Qubits \(I\) und \(III\) tauscht. Sie steht für diese Abbildung
\begin{equation}
\begin{matrix} |000> \\ |001> \\ |010> \\ |011> \\ |100> \\ |101> \\ |110> \\ |111> \end{matrix}
\quad \mapsto \quad
\begin{matrix} |000> \\ |100> \\ |010> \\ |110> \\ |001> \\ |101> \\ |011> \\ |111> \end{matrix}
\end{equation}

Die unitäre Operation \(\hat{U}_2\), die eine zeitliche Enwicklung repräsentiert, tauscht die Unterzustände der Räume (= Qubits) \(I\) und \(III\). Statt dessen könnten die Räume (die Basisvektoren) selbst getauscht werden. Ein Tauschen der Unterräume ist wiederum gleichwertig mit einer anderen gedachten Zweiteilung (siehe Verschränkung) des Hilbertraums (Sichtwechsel).

Ein „Kollaps der Wellenfunktion“ bei der Messung, wenn er denn tatsächlich stattfindet, ist nichts anderes als ein Sprung des Zustandsvektors in eine andere Richtung, ist gleichwertig mit einer sprunghaft anderen Ausrichtung des Hilbertraums (in die inverse Richtung) bei festgehaltenem Zustandsvektor und entspricht damit einem Sprung seiner Zweiteilungen, wodurch sich die davon abhängigen Informationswerte sprunghaft ändern.

Doch welche Zweiteilungen und Informationswerte sind die „Richtigen“? Die Auswahl könnte dadurch bestimmt sein, auf welcher Seite sich das Bewusstsein sieht und wie stark es an bestimmte Unterräume gekoppelt ist...

Bei hochdimensionalen Räumen ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Qubits eines Faktors des anfänglichen Produktzustands während der zeitlichen Entwicklung entschränkt bleiben, verschwindend gering und dieses Verhalten entspricht damit dem höchstwahrscheinlichen Anwachsen der Entropie in der klassischen statistischen Physik, wenn von einem Zustand geringer Entropie aus gestartet wird. Genauso wie dort gibt es allerdings den Wiederkehreinwand und den Umkehreinwand, die eine strenge Gültigkeit von \(\Delta S >= 0\) unglaubhaft erscheinen lassen.

Möglichkeit 2: Wachstum des Hilbertraums

Eine weitere Möglichkeit der Entropiezunahme ist natürlich das Wachstum des Hilbertraums selbst, das heißt das Wachsen seiner Dimension, was man sich als Auftauchen weiterer Qubits ausmalen kann. Wenn die bereits vorhandenen Qubits bei fast allen möglichen Zweiteilungen miteinander verschränkt sind, so sollte dies für die neu auftauchenden Qubits (bald) ebenso gelten, wodurch die Entropie ebenso wachsen wird. In diesem Zusammenhang von Interesse könnte die experimentell gesicherte kosmische Expansion, das heißt die Expansion der Raumzeit selbst, sein.

Alternativ könnte lediglich die Dimension des Unterraums sich vergrößern, mit dem sich das Bewusstsein in Verbindung sieht. Bei Start von einem niedrigdimensionalen (verglichen mit dem Gesamtraum) Unterraum würde sich das Bewusstsein quasi immer mehr Qubits einverleiben und die „Grenzfläche“ zwischen seinem und nichtseinem Teil des Hilbertraums dabei vergrößern, was einer Entropiezunahme gleichkäme. Wäre dieses Verhalten dem Bewusstseins innewohnend, so könnte dies helfen, den Pfeil der Zeit zu erklären, der sich in der physikalischen Dynamik sonst nicht finden lässt (doch siehe Maudlin).

Fortsetzung folgt...