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Das Gleichnis mit den Zwillingen

Die Bewegungsgleichungen der Quantentheorien enthalten Größen, die nicht beobachtbar sind. Erst durch eine mathematische Vorschrift, einen Zwischenschritt, werden aus den Lösungen der Differentialgleichungen Größen gewonnen, die beobachtbar sind. In diesem Zwischenschritt wird ein Skalarprodukt gebildet, eine Bilinearform, um auf die beobachtbare Größe zu kommen. In dieses Skalarprodukt gehen immer 2 Lösungen der Bewegungsgleichungen ein: Beobachtbare Größe = <Lösung1 | Operator | Lösung2>

Die beobachtbaren Größen sind statistischer Natur: Aufenthaltswahrscheinlichkeiten, Übergangswahrscheinlichkeiten, Erwartungswerte. Sind die nicht beobachtbaren Lösungen der Differentialgleichungen nun wirklich oder nur ein mathematischer Trick?

Durch den Formalismus mit dem Skalarprodukt hat man sich etwas Seltsames eingehandelt. In der klassischen Physik hatte man einige Glaubensvorstellungen gewonnen, die sich experimentell gut bewährt hatten: das mathematische Modell der Welt sollte gegenüber bestimmten Symmetrieoperationen, an die man glaubte, unverändert gültig sein. So sollte es vollkommen selbstverständlich sein, dass die Welt noch gleich aussieht, wenn sich etwa der Beobachter 360° um die eigene Achse dreht - oder der Beobachter stehenbleibt und die Welt sich um 360° dreht. Dies drückt sich mathematisch in einer Forderung an die Lösungen der Bewegungsgleichungen so aus: Lösung(360°) = Lösung(0°). Dies gilt für alle Lösungen, es müssen keine drehsymmetrischen sein. In der Quantentheorie ist die Lösung keine beobachtbare Größe. Dort drückt sich die Erwartung dagegen so aus: Beobachtbare Größe(360°) = Beobachtbare Größe(0°). Minus mal Minus gibt Plus. Damit werden in der Quantentheorie auch Lösungen zugelassen, die diese Bedingung erfüllen: Lösung(360°) = -Lösung(0°). Viele Symmetrien, an die wir glauben, gebären uns über den Formalisums der Quantentheorie plötzlich Zwillinge. In der Tabelle sind einige Beispiele aufgeführt. Die „+1 Lösung“ behält ihr Vorzeichen bei der genannten Operation, die „-1 Lösung“ wechselt es.


Operation +1 Lösung -1 Lösung
Eine volle Umdrehung Drehimpuls-artig Spin-artig
Raumspiegelung Lösung mit positiver Parität Lösung mit negativer Parität
Koordinatentausch (auch „Teilchenaustausch“) bosonisch fermionisch
Koordinatentausch (auch „Teilchenaustausch“) bindendes Orbital antibindendes Orbital

Für den Koordinatentausch gibt es in der Tabelle 2 Beispiele.
Im ersten Beispiel geht es um Lösungen der Form: Lösung(r1, r2) mit vektoriellen r1 = (x1, y1, z1) und r2 = (x2, y2, z2). r1 und r2 bezeichnen Teilchenortskoordinaten (damit Orte von punktförmig gedachten Materiezuständen), die über den Formalismus der Quantentheorie in Bewegungsgleichungen für Quantenzustände gelandet sind, und dadurch zu Lösungen verschmelzen, in denen alle Koordinaten vorkommen, aber die ursprünglichen Teilchen nicht mehr so klar erkennbar sind. Man vertauscht in den Lösungen r1 mit r2, das heißt 3 Koordinaten zusammen mit 3 anderen, und will, dass sich die beobachtbaren Größen dadurch nicht ändern. Das liest sich in einem Lehrbuch der Quantentheorie etwa so: Die Ununterscheidbarkeit der Teilchen bedeutet, daß es keine Observable gibt, welche die Individualität der Teilchen festlegt [Fick 4.5 §1].
Im zweiten Beispiel geht es um Lösungen der Form: Lösung(ra, rb) mit skalaren ra und rb. Konkret geht es um das Wasserstoff-Molekülion H2+, ein Molekülion aus 2 Protonen und 1 Elektron. ra und rb bezeichnen die Abstände des Elektrons vom jeweiligen Proton. Man vertauscht in den Lösungen ra mit rb und will, dass sich die beobachtbaren Größen dadurch nicht ändern. Das liest sich in einem Lehrbuch der Atom- und Quantenphysik so: Da das Problem aber völlig symmetrisch bezüglich der Indizes a und b ist, .... [Haken-Wolf 23.2]
Im ersten Zitat wird den Teilchen Realität zugebilligt, sie sollen in den verschmolzenen Lösungen weiterleben. Im zweiten Zitat wird rein über die mathematische Symmetrie argumentiert.

An den vielen verschiedenen Begriffen liest man ihre mehr oder weniger unabhängige Entstehungsgeschichte ab. Im Nachhinein gesehen hätte nach der Entwicklung der Quantentheorrie ein Haufen Zwillingsgeschwister vorausgesagt werden können, der experimentell zu überprüfen gewesen wäre. Heute wissen wir, dass alle diese Zwillinge tatsächlich in der Natur vorkommen.

Wir erkennen, dass die Mischung von +1 Lösungen und -1 Lösungen problematisch wird, da daraus berechnete beobachtbare Größen bei der Operation nicht erhalten bleiben. Für Operationen wie die volle Umdrehung oder den Koordinatentausch wäre das eine Katastrophe, da wir von diesen immer erwarten, dass sie unsere wahrnehmbare Wirklichkeit nicht verändern. Der mathematische Formalismus der Quantentheorie garantiert, dass es nicht dazu kommen kann [Greiner-Müller-S 33]. Die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen den beiden Lösungsräumen verschwindet, wenn der Hamilton-Operator, der die gesamte Lösungsmannigfaltigkeit hervorbringt, invariant unter der Symmetrieoperation ist (mit dem Symmetrieoperator vertauscht).

Symmetrien bezüglich Transformationen, die kontinuierlich von variablen Parametern abhängen, haben keine Zwillingsgeschwister.1) Andernfalls müsste eine kontinuierliche Änderung des Parameters eine unstetige Änderung der symmetrischen Lösung zur Folge haben können. Beispiele solcher Symmetrien sind die Energieerhaltung und die Impulserhaltung, die aus einer Invarianz der Bewegungsgleichungen gegenüber den kontinuierlichen Transformationen der Zeit- bzw. Ortsverschiebungen hervorgehen. Der Kugelsymmetrie liegt zwar auch eine kontinuierliche Transformation zu Grunde. Dort gibt es aber die Besonderheit, dass man nach einer vollen Umdrehung wieder in der Ausgangsstellung landet, was für diskrete Vielfache der vollen Umdrehung genauso gilt. In diesem Aspekt ist die Transformation diskret. [Fick 5.4 §7]

Die Energie etwa könnte ein Zwillingsgeschwister bekommen, wenn die Zeittranslation nicht mehr kontinuierlich sondern diskret wäre. Wenn die Zeit quantisiert wäre, könnte eine Translation um ein Zeitquant das Vorzeichen einer Lösung belassen oder wechseln.

Wenn die Zeit eine Schleife hätte, analog wie bei den Drehungen, dann dürften Lösungen nach Durchlaufen der Zeitschleife ihr Vorzeichen behalten oder wechseln.

Analog könnte der Impuls ein Zwillingsgeschwister bekommen, wenn die Raumtranslation diskret wäre. Bei einer Raumquantisierung darf man sich nicht vorstellen, dass der Raum aus kleinen Zellquanten aufgebaut ist. Dies würde sofort unangenehme Fragen nach sich ziehen: wo genau verlaufen denn die Zellen? Wie absolut muss oder kann man sie sich denken vor dem Hintergrund einer energieabhängigen Raumzeitgeometrie, das heißt vor dem Hintergrund der allgemeinen Relativitätstheorie? Vielmehr sollte man es sich so vorstellen wie sonst auch: die Quantisierung wäre keine Eigenschaft der Substanz, des Raumes, sondern des Gesetzes. Das Gesetz beschriebe nur, in welchen kleinsten Einheiten Raum bei Zustandsübergängen ausgetauscht werden könnte. So wie es sonst beschreibt, in welchen kleinsten Einheiten die Größe „Ladung“ ausgetauscht werden kann.

Hier soll der Frage, ob die nicht beobachtbaren Lösungen der Quantentheorie wirklich sind oder nicht, nicht weiter nachgegangen werden. Aber ohne ein Prinzip, welches aus Symmetrien Zwillinge gebiert, wird keine Theorie überleben können. Dieses Prinzip ist wesentlich seiend.

...Zweiteilung und Symmetrieverminderung, das ist des Pudels Kern. Zweiteilung ist ein sehr altes Attribut des Teufels (das Wort „Zweifel“ soll ursprünglich Zweiteilung bedeutet haben). Ein Bischof in einem Stück von Bernard Shaw sagt: "A fair play for the devil please". Darum soll er auch zum Weihnachtsfest nicht fehlen. Die beiden göttlichen Herren - Christus und Teufel - sollen nur merken, daß sie inzwischen viel symmetrischer geworden sind.
[Heisenberg-G Kap. 17, Zitat aus einem Brief Wolfgang Paulis an Werner Heisenberg]


1) Kontinuierliche Symmetrien können dennoch zu getrennten Lösungsräumen führen (Multipletts, entartete Unterräume), zwischen denen die Übergangswahrscheinlichkeiten verschwinden, zwischen denen also bei exakter Symmetrie keine Zustandsübergänge stattfinden. Ist die Symmetrie nicht universell, sondern nur durch die betrachtete willkürliche Anordnung gegeben, so kann sie von außen gestört werden. Oder man könnte auch sagen: so kann sie bei erweitertem Betrachtungsgebiet nur noch näherungsweise verwirklicht erscheinen. Dann werden Übergänge zwischen den Lösungsräumen möglich.