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Symmetrien sind wesentlich

Durch die kanonischen Transformationen werden auch die Symmetrieoperationen transformiert.

Diskrete Symmetrieoperationen

Symmetrien der Formulierung A.

Die Lagrangefunktion der urspünglichen Formulierung
\begin{equation}
L(\vec{r_1},\vec{r_2},\dot{\vec{r_1}},\dot{\vec{r_2}}) =
\frac{m_1}{2}(\dot{\vec{r_1}})^2 + \frac{m_2}{2}(\dot{\vec{r_2}})^2
- V(\left| \vec{r_2} - \vec{r_1} \right|)
\end{equation}
liefert dieselben Zahlenwerte, wenn man die folgenden Ersetzungen vornimmt:

Operation Wirkung Symbol
Einheitsabbildung keine \( \hat{E} \equiv \hat{1} \)
Zeitumkehr \( t \mapsto -t \) \( \hat{T} \equiv \hat{2} \)
Spiegelung am Ursprung (Inversion) \( \begin{pmatrix} \vec{r_1} \\ \vec{r_2} \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} -\vec{r_1} \\ -\vec{r_2} \end{pmatrix} \) \( \hat{I} \equiv \hat{3} \)
Austausch (Permutation), nur wenn \( m_1 = m_2 \) \( \begin{pmatrix} \vec{r_1} \\ \vec{r_2} \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \vec{r_2} \\ \vec{r_1} \end{pmatrix} \) \( \hat{P} \equiv \hat{4} \)

Die Operatorsymbole haben wir im Vorgriff auf das, was weiter unten kommen wird, einfach durchnummeriert. Verkettungen der obigen Operationen liefern uns weitere Symmetrieoperationen:

  • \( \hat{5} \equiv \hat{T} \circ \hat{I} \)
  • \( \hat{6} \equiv \hat{P} \circ \hat{I} \)
  • \( \hat{7} \equiv \hat{T} \circ \hat{P} \)
  • \( \hat{8} \equiv \hat{T} \circ \hat{I} \circ \hat{P} \)

Das führt uns auf die folgenden Gruppentafeln

\( m_1 \neq m_2 \), abelsch \( m_1 = m_2 \), abelsch
\( \circ \) \( \hat{1} \) \( \hat{2} \) \( \hat{3} \) \( \hat{5} \)
\( \hat{1} \) \( \hat{1} \) \( \hat{2} \) \( \hat{3} \) \( \hat{5} \)
\( \hat{2} \) \( \hat{2} \) \( \hat{1} \) \( \hat{5} \) \( \hat{3} \)
\( \hat{3} \) \( \hat{3} \) \( \hat{5} \) \( \hat{1} \) \( \hat{2} \)
\( \hat{5} \) \( \hat{5} \) \( \hat{3} \) \( \hat{2} \) \( \hat{1} \)
\( \circ \) \( \hat{1} \) \( \hat{2} \) \( \hat{3} \) \( \hat{4} \) \( \hat{5} \) \( \hat{6} \) \( \hat{7} \) \( \hat{8} \)
\( \hat{1} \) \( \hat{1} \) \( \hat{2} \) \( \hat{3} \) \( \hat{4} \) \( \hat{5} \) \( \hat{6} \) \( \hat{7} \) \( \hat{8} \)
\( \hat{2} \) \( \hat{2} \) \( \hat{1} \) \( \hat{5} \) \( \hat{7} \) \( \hat{3} \) \( \hat{8} \) \( \hat{6} \) \( \hat{4} \)
\( \hat{3} \) \( \hat{3} \) \( \hat{5} \) \( \hat{1} \) \( \hat{6} \) \( \hat{2} \) \( \hat{4} \) \( \hat{8} \) \( \hat{7} \)
\( \hat{4} \) \( \hat{4} \) \( \hat{7} \) \( \hat{6} \) \( \hat{1} \) \( \hat{8} \) \( \hat{3} \) \( \hat{2} \) \( \hat{5} \)
\( \hat{5} \) \( \hat{5} \) \( \hat{3} \) \( \hat{2} \) \( \hat{8} \) \( \hat{1} \) \( \hat{7} \) \( \hat{6} \) \( \hat{4} \)
\( \hat{6} \) \( \hat{6} \) \( \hat{8} \) \( \hat{4} \) \( \hat{3} \) \( \hat{7} \) \( \hat{1} \) \( \hat{5} \) \( \hat{2} \)
\( \hat{7} \) \( \hat{7} \) \( \hat{4} \) \( \hat{8} \) \( \hat{2} \) \( \hat{6} \) \( \hat{5} \) \( \hat{1} \) \( \hat{3} \)
\( \hat{8} \) \( \hat{8} \) \( \hat{6} \) \( \hat{7} \) \( \hat{5} \) \( \hat{4} \) \( \hat{2} \) \( \hat{3} \) \( \hat{1} \)

Symmetrien der Formulierung B.

Die Lagrangefunktion dieser Formulierung
\begin{equation}
L(\vec{r},\vec{R},\dot{\vec{r}},\dot{\vec{R}}) =
\frac{m}{2}(\dot{\vec{r}})^2 + \frac{M}{2}(\dot{\vec{R}})^2
- V(\left| \vec{r} \right|)
\end{equation}
liefert dieselben Zahlenwerte, wenn man die folgenden Ersetzungen vornimmt:

Symmetrien der Formulierung C.

Zwischenbilanz

Kontinuierliche Symmetrieoperationen

Symmetrien der Formulierung A.

Symmetrien der Formulierung B.

Symmetrien der Formulierung C.