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Beziehungen erscheinen als Masse

Klassische Vorüberlegung

Wir gehen wieder von der gleichen Gleichung wie im vorigen Kapitel aus, diesmal mit „gleichen Teilchen“, d.h. \( m_1 = m_2 = m \).
\begin{equation}
\hat{H} = \hat{E}(m) + \hat{T}(m,p_1) + \hat{E}(m) + \hat{T}(m,p_2) + \hat{V}(|r_1 - r_2|) + \hat{T}(k)
\end{equation}
Wenn das Potential darin ein \( \frac{1}{r} \) Potential wäre, dann könnte es für eine negative Gesamtenergie sorgen, was gemeinhin als „unphysikalisch“ angesehen wird. Am Beispiel des Wasserstoffproblems haben wir gesehen, wie uns die Quantenmechanik mit Hilfe der \( \hat{E}(m_i) \) Terme davor rettet. Was wäre denn, wenn diese Rettung kein Zufall wäre, wenn es einen tieferen Zusammenhang zwischen dem Potential und den \( \hat{E}(m_i) \) Termen gäbe?

Dazu verallgemeinern wir unsere Gleichung auf \( N \) Sätze von Freiheitsgraden oder „Teilchen“
\begin{equation}
\hat{H} = \sum_{n=1}^N \hat{E}(m) + \sum_{n=2}^N \sum_{m=1}^{n-1} \hat{V}(|r_n - r_m|) + ...
\end{equation}
und fragen uns, was es bedeuten würde, wenn das Potential nicht im Unendlichen verschwinden sondern einem konstanten Wert zustreben würde.
\begin{equation}
\lim_{|r_n - r_m|\to\infty} \hat{V}(|r_n - r_m|) = V_0 = const.
\end{equation}
Der konstante Wert \( V_0 \) soll also die Erklärung liefern für den Term \( \sum_{n=1}^N \hat{E}(m) \). Die Relativitätstheorie könnte im Anschluss daran dafür sorgen, dass in den kinetischen Termen \( \hat{T}(m,p_i) \) statt \( m \) nun \( V_0 \) auftritt. Damit wären wir die Massenkonstante los.

Wenn es \( N \) Teilchen in der Welt gäbe, dann hätten diese untereinander \( \frac{1}{2} N (N-1) \) Beziehungen und die Masse \( \frac{1}{2 c^2} N (N-1) V_0 \). Stopften wir ein weiteres Teilchen hinein, so würden \( N \) neue Beziehungen zwischen dem neuen und den vorhandenen Teilchen entstehen. Stopften wir M weitere Teilchen hinein, dann würden \( \frac{1}{2} (N+M) (N+M-1) - \frac{1}{2} N (N-1) \) neue Beziehungen entstehen.

Teilchenzuwachs Energiezuwachs (Grundzustand)
1 Teilchen mehr \(+N \cdot V_0\)
... ...
M Teilchen mehr \(+(NM + \frac{1}{2}M(M-1)) \cdot V_0\)

Wenn \(N \gg M\), dann wäre der Zuwachs ungefähr \(N V_0 M\) und damit proportional zu \( M \), es würde dann so aussehen, als hätte ein Teilchen die konstante Masse \( m = \frac{1}{c^2} N V_0 \). Erst wenn wir sehr viele Teilchen dazustopfen könnten, würde die Teilchenmasse ihre vermeintliche Konstanz verlieren.

Im Lichtkegel eines Laborteilchens befindet sich eine astronomische Größenordnung von \( N \) anderen Teilchen. Prinzipiell kann das Experiment also zwischen Massenkonstanten und Beziehungen unterscheiden, praktisch scheitert dies aber daran, dass die unter unserer Herrschaft stehende Zahl \( M \) immer viel zu klein ist.

Und wir fühlen uns dabei an die Gedankengänge Ernst Machs und das Machsche Prinzip erinnert. Vielleicht bringt es uns ja weiter, wenn wir die Vorstellung „Eigenschaft Masse“ fallenlassen und die Beziehung zum kosmischen Hintergrund nicht aus den Augen verlieren.

Quantenelektrodynamik

Allgemein ist der Erwartungswert \(<\hat{O}>\) einer Observablen \(\hat{O}\) gegeben durch
\begin{equation}
<\hat{O}> = <\Xi | \hat{O} | \Xi>
\end{equation}
wobei \(\Xi\) der Zustandsvektor der Welt ist (ausführlicher erklärt z.B. in [Amann Müller-Herold Kap. 2]). Da die Betrachtung der ganzen Welt uns überfordert, interessieren wir uns in der Regel für einen Ausschnitt daraus. Der Ausschnitt definiert sich durch eine kleine Menge von Koordinaten (oder Freiheitsgraden), und der Rest der Welt durch eine sehr große Anzahl von Koordinaten (oder Freiheitsgraden).

Die Zustandsvektoren der gesamten Welt lassen sich modellieren als Funktionen aller Koordinaten. Diese Funktionen sind im Allgemeinen nicht Produkte einer Funktion der Koordinaten unseres Ausschnitts und einer anderen Funktionen der Restkoordinaten. Sie lassen sich aber immer nach solchen Produkten entwickeln. Im Hilbertraum-Formalismus sieht das so aus:
\begin{equation}
| \Xi > = \sum_{n,m} c_{nm} | \psi_n > \otimes | \phi_m >
\end{equation}
mit den Entwicklungskoeffizienten
\begin{equation}
c_{nm} = < \psi_n \phi_m | \Xi >
\end{equation}
Dabei steht \(\psi_n\) für Zustände des Ausschnitts und \(\phi_m\) für Zustände der Restwelt. Diese Entwickelbarkeit gilt auch für die Quantenfeldtheorien, wo man sich die Zustände vorstellt als aus dem Vakuumzustand \( |0> \) durch Erzeugungsoperatoren erzeugte Zustände, z.B. \( | \Xi > = a^\dagger (b^\dagger)^3 (c^\dagger)^2 ... |0> \).

Eine Ausschnittobservable wird durch einen Operator \(\hat{A}\) modelliert, der nur auf die Teile des Zustands mit den Ausschnittkoordinaten wirkt. Im Hilbertraumformalismus stellt sich die auf die Gesamtwelt erweiterte Observable so dar:
\begin{equation}
\hat{A} \otimes \hat{1}
\end{equation}

Der Erwartungswert der Ausschnittobservablen ist dann
\begin{equation}
<\hat{A}> = < \Xi | \hat{A} \otimes \hat{1} | \Xi > = \sum_{n,m} \sum_{r,s} c_{nm}^* c_{rs} <\psi_n | \hat{A} | \psi_r > < \phi_m | \phi_s > = \sum_{n,m,r} c_{nm}^* c_{rm} <\psi_n | \hat{A} | \psi_r >
\end{equation}.
Im letzten Schritt haben wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit einen orthonormierten Satz von \(|\phi_m>\) angenommen.

Die Hamiltondichte der QED Hamiltondichte in der Eichung \(A_0=0\) ist [Bialynicki-Birula (15)] (nochmal nachrechnen!)
\begin{equation}
\mathcal{H} = \frac{1}{2}[\bar{\Psi}, i \gamma^k \partial_k \Psi] + \frac{1}{2}[\bar{\Psi}, ( e \gamma^\mu A_\mu + m ) \Psi] + \frac{1}{4} (\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu) (\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu)
\end{equation}
Von links nach rechts:

  • der fermionische Bewegungsterm
  • die Wechselwirkung des elektromagnetischen mit dem fermionischen Feld, in derselben Klammer mit...
  • ... dem fermionischen Massenterm
  • der Term des elektromagnetischen Feldes

Die Kommutatoren stellen die Ladungskonjugationssymmetrie her. Wir werden sie im Folgenden schlampigerweise weglassen. Sie sind nicht wichtig für den Gesichtspunkt, um den es hier geht.

Schreiben wir spaßeshalber statt der Massenkonstante \(m\) mal einen Wechselwirkungsterm in die Hamiltondichte. Das soll eine Wechselwirkung mit einem unbekannten Hintergrundfeld der Sorte \(B\) sein. Die Form des neuen Terms ist der Quantenchromodynamik entlehnt mit einem Symmetriegenerator \(T_\alpha\). Wir bekommen also einen Wechselwirkungsterm mit 2 verschiedenen Wechselwirkungen:
\begin{equation}
\mathcal{H} = \bar{\Psi} i \gamma^k \partial_k \Psi + \bar{\Psi} ( e \gamma^\mu A_\mu + g \gamma^\mu T_\alpha B^\alpha_\mu ) \Psi + \frac{1}{4} (\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu) (\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu)
\end{equation}
Wir denken uns den Welt-Zustand noch feiner entwickelt, und zwar nach Zuständen mit B-Feldern und solchen ohne B-Felder:
\begin{equation}
| \Xi > = \sum_{n,m,l} c_{nml} | \psi_n(QED-Felder) > \otimes | \phi_m(B-Felder) > \otimes | \phi_l(Rest) >
\end{equation}
Wenn wir damit den Erwartungswert unseres Ausschnittoperators \(\hat{A}\) bilden, gelangen wir zu
\begin{equation}
<\hat{A}> = < \Xi | \hat{A} \otimes \hat{1} \otimes \hat{1} | \Xi >
\end{equation}
\begin{equation}
= \sum_{n,m,l} \sum_{r,s,k} c_{nml}^* c_{rsk} <\psi_n | \hat{A} | \psi_r > < \phi_m(B-Felder) \otimes \phi_l(Rest) | \phi_s(B-Felder) \otimes \phi_k(Rest)>
\end{equation}
\begin{equation}
= \sum_{n,m,l} c_{nml}^* c_{rml} <\psi_n | \hat{A} | \psi_r >
\end{equation}
da dieser Operator nichts von B-Feldern weiß. Wir gelangen natürlich zu demselben Ergebnis wie oben, nur umständlicher geschrieben. Für einen Ausschnittoperator, der B-Felder kennt, erhalten wir jetzt aber:
\begin{equation}
<\hat{B}> = < \Xi | \hat{B} \otimes \hat{1} | \Xi >
\end{equation}
\begin{equation}
= \sum_{n,m,l} \sum_{r,s,k} c_{nml}^* c_{rsk} <\psi_n \otimes \phi_m(B-Felder)| \hat{B} | \psi_r \otimes \phi_s(B-Felder)> < \phi_l(Rest) | \phi_k(Rest)>
\end{equation}
\begin{equation}
= \sum_{n,m,r,s,l} c_{nml}^* c_{rsl} <\psi_n \otimes \phi_m(B-Felder) | \hat{A} | \psi_r \otimes \phi_s(B-Felder)>
\end{equation}
Nun haben wir alles zusammen. Der Hamiltonoperator ist das Integral über die Hamiltondichte
\begin{equation}
\hat{H} = \int { d^3r \mathcal{H} }
\end{equation}
Die Masse einer Welt (oder eines Ausschnitts) hatten wir bereits begriffen als kleinsten Erwartungswert des Hamilton-Operators der Welt (oder des Ausschnitts), geteilt durch \(c^2\) Diese für die nichtrelativistische Quantenmechanik einleuchtende Auffassung können wir nicht ohne Weiteres auf die QED übertragen. Den kleinsten Erwartungswert hat das Vakuum \(|0>\). Und wir interessieren uns doch für so etwas wie die Masse eines Fermions! Dies lässt sich noch leicht ausbügeln, indem wir den Erwartungswert eben mit einem Einfermionenzustand \(b^\dagger |0>\) bilden, idealerweise mit einem Einfermionenzustand mit verschwindendem Impuls, bzw. wir ignorieren einfach den Erwartungswert des kinetischen Terms.
\begin{equation}
m_{Einfermion} := \frac{1}{c^2} < \hat{H} >_{\psi_{Einfermion}}
\end{equation}
Schwerwiegender sind 2 andere Eigenschaften der QED:

  • alle solche Erwartungswerte sind unendlich groß, da schon das Vakuum einen unendlich großen Wert liefert. Dem kann man mit Renormierung entgegenwirken. Das hat zur Folge, dass man mit der Massenkonstante \(m\) in der Gleichung zwar rechnen darf und zu hochgenauen theoretischen Vorhersagen kommt, andererseits unsere Weltmassendefinition weiterhin sinnlos bleibt. Die QED liefert einfach keine sinnvollen Antworten auf solche Fragen.
  • sobald Wechselwirkungsterme zugeschaltet werden, und eine QED ohne wechselwirkende Fermionen- und elektromagnetische Felder ist ziemlich witzlos, verlieren die Teilchenzahloperatoren ihren Sinn. Eigentlich dürften wir gar nicht mehr von Einfermionenzuständen sprechen, ein wildes elektromagnetisches Geflecht sorgt für eine Vermischung mit dem Vakuumzustand, schlimmer noch: mit allen möglichen Zuständen. Glücklicherweise konvergieren entsprechende mathematische Reihenentwicklungen, und man kann sich schrittweise zu immer höherer Genauigkeit vortasten.

Wir wollen trotzdem solch einen Erwartungswert des Hamilton-Operators betrachten und dabei das Prinzip erkennen. Übergangswahrscheinlichkeiten würden noch etwas länglichere Formeln liefern, für das Prinzip Masse aus Wechselwirkung aber keine neuen Erkenntnisse. Auf die Fragen nach Übergangswahrscheinlichkeiten liefert die QED sinnvolle Antworten. Es ist eine seltsame Theorie, die mehr das Werden als das Sein beschreibt (siehe die Diskussion in [Dereziński]).

So ein Einfermionenzustand, von dem man die Masse bestimmen wollte, würde in einem physikalischen Labor höchst liebevoll präpariert werden: tiefe Temperaturen, Vakuum. Das dient dazu, die Verschränkung mit der Umgebung zu minimalisieren. Idealerweise präpariert der Experimentalphysiker so einen Weltzustand:
\begin{equation}
| \Xi > = | \psi_{Einfermion} > \otimes \sum_{m,l} c_{ml} | \phi_m(B-Felder) > \otimes | \phi_l(Rest) >
\end{equation}
Es sind also nur noch die geheimnisvollen unbekannten B-Feld-Zustände mit dem Rest, der von den B-Feldern unabhängig sein soll, verschränkt. In diesem Zustand liefert der Wechselwirkungsterm, den wir anstatt der Massenkonstante \(m\) eingeführt haben, so einen Beitrag zum Erwartungswert der Hamiltondichte:
\begin{equation}
<\psi_{Einfermion} | \bar{\Psi} (\sum_{m,s,l} c_{ml}^* c_{sl} < \phi_m(B-Felder) | g \gamma^\mu T_\alpha B^\alpha_\mu | \phi_s(B-Felder) >) \Psi | \psi_{Einfermion} >
\end{equation}
Und daraus lesen wir ab:
\begin{equation}
m \equiv \sum_{m,s,l} c_{ml}^* c_{sl} < \phi_m(B-Felder) | g \gamma^\mu T_\alpha B^\alpha_\mu | \phi_s(B-Felder) >
\end{equation}
Und lernen daraus: was uns als konstante Masse in einer Formel der Quantenfeldtheorie entgegentritt, könnte in Wirklichkeit ein statistischer Wert sein, der von einer noch unbekannten Wechselwirkung stammt. Die sorgsame Präparation durch den Experimentalphysiker hat vielleicht bezüglich der B-Felder gar nichts gebracht und er merkt es nicht. Unser Fermionenfeld koppelt an einen kosmischen Hintergrund aus unbekannten B-Feldern, die eventuell makroskopische Stärke besitzen. Und wenn sie makroskopische Stärke besitzen, dann haben die statistischen Werte makroskopische Eigenschaften: sie können unglaublich scharf und konstant werden, und solche statistischen Werte von einer tatsächlichen Konstante zu unterscheiden, kann sehr schwierig werden.
Und nun kommen wir wieder zurück auf die Antworten, die von der QED geliefert werden können: mit Übergängen von asymptotischen Anfangs- in asymptotische Endzustände meinen Experimental- und theoretischer Physiker nur Veränderungen an den QED-Zuständen. Ist der B-Feld-Hintergrund makroskopisch, dann bleibt er einfach gleich während der Durchführung des Experiments, liefert vielleicht mal hie und da eine geringe unerklärliche statistische Schwankung in den Ergebnissen. Unsere Gleichsetzung der Massenkonstante mit dem statistischen Term oben behielte damit ihre Gültigkeit auch bei Zustandsübergängen, nicht nur bei Erwartungswerten.

Der Higgs-Mechanismus

Während in der QED und in der Quantenchromodynamik erfolgreich mit Teilchenmassenkonstanten gerechnet werden kann, hat uns die schwache Kernkraft diesbezüglich erstmals vor grundsätzliche Schwierigkeiten gestellt. Das Experiment liefert den Befund, dass nur die linkshändigen Teile der Natur an der schwachen Wechselwirkung teilnehmen. Eine Massenkonstante im Modell koppelt aber bereits in der freien Gleichung links- und rechtshändige Anteile aneinander. Ein Versuch, der einen linkshändigen Anteil verändert, müsste somit stets auch eine Auswirkung auf rechtshändige Anteile haben.

Die frei Lagrange-Dichte eines Dirac-Feldes hat mit der Aufteilung in links- und rechtshändige Felder [Seiden 8.1]
\begin{equation}
\Psi = ( \frac {1 - \gamma_5}{2} ) \Psi + ( \frac {1 + \gamma_5}{2} ) \Psi = \Psi_L + \Psi_R
\end{equation}
die Gestalt
\begin{equation}
\mathcal{L} = i \bar{\Psi_L} \gamma_\mu \frac{\partial}{\partial x_\mu} \Psi_L
+ i \bar{\Psi_R} \gamma_\mu \frac{\partial}{\partial x_\mu} \Psi_R
- m [ \bar{\Psi_L}\Psi_R + \bar{\Psi_R}\Psi_L ]
\end{equation}

Fortsetung folgt...