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Was wird gewogen?

In der Literatur findet man viele mathematische Modelle, bei denen die Ruheenergien weggelassen werden. Oft spielen sie für die interessierende Messgröße keine Rolle, da sie nur einen konstanten Beitrag liefern würden. Wir interessieren uns aber jetzt speziell dafür. Ein „Zweikörper“-Energieoperator \(\hat{H}\) könnte so aussehen:
\begin{equation}
\hat{H} = \hat{E}(m_1) + \hat{T}(m_1,p_1) + \hat{E}(m_2) + \hat{T}(m_2,p_2) + \hat{V}(|r_1 - r_2|) + \hat{T}(k)
\end{equation}
Dabei stehen \(\hat{E}(m_i)\) für die Ruheenergien, \(\hat{T}(m_i,p_i)\) für die Beiträge aufgrund von Bewegung, \(\hat{V}(r_1,r_2)\) für eine Kraft zwischen den „Körpern“ und \(\hat{T}(k)\) für weitere Feldenergien, die nicht bereits durch \(\hat{V}\) erfasst sind.

Diese Gleichung ist ein Zwitter aus zwei Welten. Wenn wir die Feldenergie (nach heutigem Stand der Wissenschaft) richtig erfassen wollten, dann müssten wir eine Quantenfeldtheorie verwenden, was die Betrachtung allerdings unnötig verkomplizieren würde. Die Kraft \(\hat{V}\) ist eindeutig eine makroskopische, klassische Formulierung. In einer QFT würde hier ein Wechselwirkungsterm mit den Feldoperatoren stehen. Die sehr lebendige Wechselwirkung der QFT muss im Grenzfall vieler Freiheitsgrade und höherer Energien aber irgendwie in so etwas wie eine langweilige abstandsabhängige Kraft münden, wie sie in der klassischen Mechanik oder der nicht-relativistischen Quantenmechanik erfolgreich verwendet wird. In der nicht-relativistischen Quantenmechanik wiederum werden Terme wie \(\hat{T}(k)\) weggelassen, da sie nicht erfolgreich ausformuliert werden können. In der QFT steuern die Eichfeldoperatoren ihre Beiträge in \(\hat{V}(r_1,r_2)\) und in \(\hat{T}(k)\) hinein.

Was ist nun die Masse einer solchen Welt? Da \( E = mc^2 \) ist ihre Masse \( \frac{1}{c^2} \langle \hat{H} \rangle_\psi \), also der Erwartungswert des Energieoperators im Zustand \(\psi\). \(\psi\) muss kein Eigenzustand des Energieoperators sein! Das heißt, dass selbst bei diskreten Energieeigenwerten die möglichen Massen unendlich dicht auf der Energieskala liegen. Als Masse definiert man das Minimum von \( \frac{1}{c^2} \langle \hat{H} \rangle_\psi \) über alle Zustände \(\psi\). Der Zustand mit dem niedrigsten Erwartungswert heißt Grundzustand. Idealerweise ist im Grundzustand \(\hat{T}(k) = 0\). Das heißt zufälligerweise ist dann der Grundzustand einer, in dem keine freie (nichtlokale) Feldenergie vorhanden ist. Wenn die Amplitude des Grundzustands nur in einem kleinen Raumbereich deutlich ausgeprägt ist, dann ist die so definierte Masse einigermaßen an einem Ort konzentriert und kommt der Vorstellung eines massebehafteten mechanischen Körpers nahe.

Wenn im Grundzustand der Erwartungswert der verteilten Feldenergie nicht verschwindet, dann gibt es durchaus ein Problem:

  • Wenn wir die gesamte Feldenergie zur Masse zählen, dann ist die Masse über das Universum verschmiert und hat mit der Vorstellung eines massebehafteten Körpers nichts mehr zu tun. Wie sollen wir eine Waage bauen, die über das gesamte Universum misst?
  • Wenn wir nicht die gesamte Feldenergie zur Masse zählen, stellt sich die Frage: wo sollen wir die willkürliche Grenze ziehen?

Ein Beispiel: die Masse des Wasserstoffatoms

Die Kenntnis der Lösung des Wasserstoffproblems (formuliert mit nicht-relativistischer Quantenmechanik) wird hier vorausgesetzt. Die Zeitabhängigkeit lässt sich in der nicht-relativistischen QM abtrennen, wenn der Hamilton-Operator nicht explizit von der Zeit abhängt. Der Zeitanteil ist dann \( \psi(t) = e^{ \frac{ Et }{ i \hbar } } \) und hat nichts mit der Definition von Masse zu tun.

Ebenso lässt sich eine Schwerpunktgleichung von einer Relativgleichung in einem 2. Schritt abgetrennen:

Schwerpunktgleichung Gesamtgleichung Relativgleichung
Schwerpunkt: \(R\) Gesamtmasse: \(M\)
\begin{equation}
[ M c^2 - \frac{\hbar^2}{2 M} \triangle_{R} ] \psi(\vec{R}) = E \psi(\vec{R})
\end{equation}
Die Lösungen bauen sich aus ebenen Wellen auf, deren kinetische Energie beliebig klein werden kann. Dann bleibt von der Schwerpunktgleichung allein \( M = m_e + m_p \) als Beitrag zur Masse des Wasserstoffs übrig.
\begin{equation}
[ m_e c^2 - \frac{\hbar^2}{2 m_e} \triangle_{r_e} + m_p c^2 - \frac{\hbar^2}{2 m_2} \triangle_{r_p} + V(| \vec{r_p} - \vec{r_e} |) ] \psi(\vec{r_e}, \vec{r_p}) = E \psi(\vec{r_e}, \vec{r_p})
\end{equation}
Relativ-Koordinaten: \(\vec{r}\) reduzierte Masse: \(m\)
\begin{equation}
[ - \frac{\hbar^2}{2 m} \triangle_{r} + V(| \vec{r} |) ] \psi(\vec{r}) = E \psi(\vec{r})
\end{equation}
Die Lösung mit der niedrigsten Energie ist \( \psi_{100} \). Die Erwartungswerte von \( \frac{1}{c^2} \hat{T} \) und \( \frac{1}{c^2} \hat{V} \) tragen zur Masse bei.

Ein \(\hat{T}(k)\) ist in der Tabelle nirgends zu sehen, offensichtlich geht man davon aus, dass es 0 sei. Die Energieeigenwerte der Relativgleichung sind diskret. Es gibt einen minimalen Energieerwartungswert, der der niedrigste Eigenwert des Energieoperators ist. Dazu gehört der Grundzustand
\begin{equation}
\psi_{100}(\vec{r}) = \frac{1}{ \sqrt{\pi a^3}} e^{ -\frac{|\vec{r}|}{a}}
\end{equation}
Die Nummer 100 entspricht dem üblichen Nummerierungsschema der Energieeigenfunktionen beim Wasserstoffproblem. a ist der Bohrsche Radius
\begin{equation}
a = \frac {4\pi\epsilon_0\hbar^2} {me^2}
\end{equation}
wobei m die reduzierte Masse ist und e die Elektronenladung. Ein Zahlenwert für a ist \( (1 + \frac{m_e}{m_p}) \cdot 0,529177211 \cdot 10^{-10} m \). Die Teilenergieoperatoren der Relativgleichung lauten:
\begin{equation}
\hat{T} = - \frac{\hbar^2}{2m} \triangle_r
\quad\quad
\hat{V} = - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r}
\end{equation}
Für den Grundzustand erhält man die Erwartungswerte nach kurzer Rechnung:
\begin{equation}
\langle \hat{T} \rangle_{\psi_{100}} = \frac{\hbar^2}{2ma^2} = \frac{me^4}{32 \pi^2 \epsilon_0^2 \hbar^2} = 13,5982871554437 eV
\quad\quad
\langle \hat{V} \rangle_{\psi_{100}} = - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 a} = - \frac{me^4}{16 \pi^2 \epsilon_0^2 \hbar^2} = -27,1965743108873 eV
\end{equation}
Die Summe \(\langle \hat{T}\rangle +\langle \hat{V}\rangle = -13,5982871554437 eV \) ist die negative Ionisierungs- oder Bindungsenergie. Die Ionisierungsenergie ist zufällig genauso groß wie die kinetische Energie \( \langle\hat{T}\rangle \). Nach dieser Theorie definiert sich die Masse des Wasserstoffatoms H also zu:
\begin{equation}
m_H = (m_e + m_p) - \frac{e^4}{32 \pi^2 \epsilon_0^2 \hbar^2 c^2} \cdot \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}
\end{equation}
Der rechte Term ist der „Massendefekt“. Kann man die „Konstanten“ in dieser Gleichung alle genau genug messen, so lässt sich die Theorie überprüfen. Tatsächlich haben wir heute eine Messgenauigkeit erreicht, die die Grenzen der nicht-relativistischen QM aufzeigt. Zum Beispiel ist der Spin nicht berücksichtigt. Aber selbst mit dessen Berücksichtigung lassen sich noch Abweichungen finden, so dass wir mit dieser Theorie zwar mit Massen von Wasserstoffatomen, Elektronen und Protonen rechnen können, aber nur, wenn die Zahlenwerte nicht ganz so genau genommen werden. Die Vorstellung von \(m_e, m_p, m_H\) ist damit zu einer ungenauen Vorstellung geworden. Gibt es bessere Vorstellungen?

Wie werden heute Elektronen gewogen?

https://www.mpi-hd.mpg.de/blaum/gfactor/silicon/index.de.html

Zyklotronfrequenz (Warum steht dort nicht die reduzierte Masse?)
\begin{equation}
\nu_Z = \frac{1}{2 \pi} = \frac{q}{m_{Ion}} B
\end{equation}

Larmorfrequenz
\begin{equation}
\nu_L = \frac{2 \mu_S B}{h} = \frac{g}{4\pi} \frac{e}{m_e} B
\end{equation}

\begin{equation}
m_e = \frac{g}{2} \frac{e}{q} \frac{\nu_Z}{\nu_L} m_{Ion}
\end{equation}

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Fazit: man misst bei der Messung der Elektronenmasse keine direkt zugängliche Erscheinung. Vielmehr bestimmt man eine Konstante einer Gleichung, die ohne Theorie, ohne den Glauben an ein bestimmtes Modell der Wirklichkeit, kein Dasein hat. Dazu ist sie viel zu weit entfernt von den Erscheinungen, die unsere Wirklichkeit ausmachen.

Bindungsenergie - oh weh!

An dieser Stelle muss auf eine frisch entstandene Begriffswirrnis hingewiesen werden. Die Bindungsenergie bezeichnet seit jeher die Energie, die frei wird, wenn 2 Teile aus dem Unendlichen zusammengebracht werden und sich binden, also der Teil der Feldenergie \(\hat{T}(k)\), der sich dem Gewogenwerden durch die Waage durch rasches Entfernen vom Ort des Geschehens entzieht. Feldenergie, die auf der Waage liegt, zählt nicht zur Bindungsenergie.

Die Bindungsenergie der Quantenchromodynamik ist nun eher das Gegenteil davon: der Teil der (gluonischen) Feldenergie \(\hat{T}(k)\), der auf der Waage liegt, wird dort - leider - wiederum als Bindungsenergie bezeichnet.