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Wigners Freund

Hier wird untersucht, ob Wigners Gedankenexperiment [Wigner] wirklich, wie er selbst schreibt, einen Widerspruch beinhaltet. In der blumigeren Fassung von Everett liest es sich in freier Übersetzung so:

Irgendwo draußen im Weltraum sei ein isolierter Raum, in dem sich ein Beobachter [Wigners Freund F] befindet, der gerade eine Messung an einem Quantensystem A durchführt. Nach erfolgter Messung notiert er das Ergebnis in sein Notizbuch. Wir nehmen an, er wisse den ursprünglichen Zustandsvektor von A (vielleicht als Ergebnis einer früheren Messung [in der der Zustandsvektor ein Eigenvektor der gemessenen Obervable war]), und dieser Zustandsvektor sei kein Eigenvektor der aktuellen Messung. Als orthodoxer Quantentheoretiker glaubt F dann, dass das Ergebnis seiner aktuellen Messung unbestimmt sei und dass es korrekt durch Prozess 1 beschrieben werde.

Darüber hinaus gebe es einen weiteren Beobachter [Wigner W] außerhalb dieses Raumes, der den ursprünglichen Zustandsvektor des gesamten Raumes einschließlich des Quantensystems A, des Messapparats, Fs und dessen Notizbuches kennt. W interessiert sich nur dafür, was er in einer Woche im Notizbuch finden wird. Deswegen berechnet er den Zustandsvektor des Raumes, wie er in einer Woche sein wird, gemäß Prozess 2. Es vergeht eine Woche und W hat nach wie vor Kenntnis des Zustandsvektors des Raumes, von dem dieser gleichermaßen orthodoxe Quantentheoretiker glaubt, dass er eine komplette Beschreibung des Raumes samt Inhalt ist. Wenn Ws Berechnung des Zustandsvektors voraussehen kann, was sich im Notizbuch finden wird, dann liegt F falsch mit seinem Glauben über die Unbestimmtheit des Ausgangs seiner Messung. Deswegen nehmen wir an, dass Ws Zustandsvektor nichtverschwindende Anteile für verschiedene Notizbucheinträge beinhaltet.

Zu diesem Zeitpunkt öffnet W die Tür des Raumes und schaut sich das Notizbuch an. Nach dieser Beobachtung der Notizen wendet Wigner sich seinem Freund F zu und teilt ihm gönnerhaft mit, dass, weil sein (Ws) Zustandsvektor - von dem er weiß, dass er eine komplette Beschreibung des Raumes einschließlich des Inhalts gewesen ist - bis vor seinem Eintreten nichtverschwindende Anteile auch für andere Ausgänge als dem jetzigen Ergebnis der Messung besessen habe, das Ergebnis erst festgelegt wurde, als W den Raum betrat, so dass F, seine Notizen und seine Erinnerungen über die Messung vor einer Woche keine objektive Existenz hatten bis zum Eingreifen von W. Kurzgefasst unterstellt W, dass F seine objektive Existenz der großzügigen Natur von W verdankt, die ihn zum Eingreifen nötigte. Doch, zu Ws Bestürzung, reagiert F nicht mit dem leisesten Respekt und Dankbarkeit, die er gegenüber W zeigen sollte, und am Ende einer einigermaßen hitzigen Antwort, mit der F in farbiger Weise seine Meinung über W und dessen Glaube ausdrückt, durchschlägt er Ws Ego in grober Weise durch die Beobachtung, dass wenn W Recht zur Selbstzufriedenheit hätte, da die gesamte aktuelle Situation keine objektive Existenz haben müsse, sondern vom zukünftigen Handeln eines weiteren, dritten Beobachters abhängen könne.
[Everett]

Um es auf den Punkt zu bringen, bestünde demnach Uneinigkeit zwischen den 2 bewussten Beobachtern, zu welchem Zeitpunkt der Zustandsvektor einen Hüpfer gemäß Prozess Typ 1 vollführt habe. Dadurch könne die zugrundeliegende Quantenmechnik nicht mehr die Beschreibung einer beobachterunabhängigen Realität darstellen. Darüberhinaus hätten 2 verschiedene Beobachter unvereinbare Beschreibungen zu verwenden, um ihre Beobachtungen zu erklären. Ein Paradoxon!

Wir bezeichnen mit \( \mathbb{H}_A \) den Teilraum des Quantendings, mit \( \mathbb{H}_F \) den vom Rest des isolierten Raumes (inkl. F und seines Notizbuches) und mit \( \mathbb{H}_W \) den Rest der Welt inklusive Wigner. Als erstes wollen wir der Frage nachgehen, ob im Raum \( \mathbb{H}_F \) Prozesse möglich sind, die den Zustand der Restwelt unverändert lassen, zum Beispiel ob ein Zustandsvektor von F unabhängig hüpfen kann vom Zustandsvektor von W wie im Bild gezeigt.

Im Allgemeinen werden Zustände von Teilräumen durch Dichteoperatoren beschrieben, sie „haben keine Teilzustandsvektoren“. Im allgemeinen Fall können beide Prozesstypen 1 & 2 nicht so, wie wir sie im Kapitel über die Messaungen beschrieben haben, auf einen Teilraum beschränkt stattfinden, sondern nur gleichzeitige Prozesse (wir bewegen uns hier in nicht-relativistischer Quantenmechanik) im Gesamtraum für den Gesamtzustand.

Stellen wir uns 2 unabhängige Welten vor, so sind in beiden Welten unabhängig voneinander ablaufende Prozesse selbstverständlich möglich. Das ist ja die Definition von Unabhängigkeit! Doch eine unabhängige Welt F spielt für die Welt W überhaupt keine Rolle, so lange sie unabhängig ist, denn von ihrer Existenz kann niemals etwas erfahren werden. Damit die Welten von ihren Existenzen gegenseitig etwas erfahren können, müssen sie gekoppelt werden, etwa durch einen Wechselwirkungsoperator \( \hat{H}_{WW} \). Durch die Wechselwirkung verschränken sie sich und verlieren ihre eigenen Existenzen. So lange der Gesamtvektor ein Produktvektor \( | \psi_F > | \psi_W > \) ist und bleibt, können Prozesse in beiden Welten unabhängig ablaufen.

Wir können die Wechselwirkung beliebig klein werden lassen. Durch die Definition \( \hat{H}_{WW} \equiv \epsilon \hat{h}_{WW} \) etwa können wir uns vorstellen, dass der reelle Parameter \( \epsilon \), der für die Stärke der Wechselwirkung steht, beliebig klein werden kann. Wir bekommen damit

\begin{equation}
\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}{unabhängige\ Prozesse\ sind\ nicht\ möglich}\ =\ unabhängige\ Prozesse\ sind\ möglich
\end{equation}

Das sieht auf den ersten Blick aus wie ein Paradoxon. Das Paradoxon kann sich jedoch auflösen, wenn wir berücksichtigen, dass Gesamtprozesse möglich sind, die nur einen Teilraum betreffen, während sie den Dichteoperator des anderen Raums unverändert lassen. Unsere beiden Prozesstypen sind durch unitäre Transformationen darstellbar. Der Operator \( \hat{1}_F \otimes \hat{U}_W \) wirke zum Beispiel nur in W. Dann lässt dieser Prozess

\begin{equation}
\hat{\rho}_F = \mathrm {Spur}_W ( \sum_{i,j} c_{ij}| \psi_i^F >| \psi_j^W > < \psi_i^F | < \psi_j^W | ) \xrightarrow[]{} \mathrm {Spur}_W ( \sum_{i,j} c_{ij} \hat{1}_F \otimes \hat{U}_W | \psi_i^F >| \psi_j^W > < \psi_i^F | < \psi_j^W | \hat{1}_F \otimes \hat{U}_W^{-1} )
\end{equation}
den Dichteoperator von F unverändert, denn \( \hat{1}_F \otimes \hat{U}_W \) lässt sich vor die Summe ziehen und unter der Spur lassen sich Operatoren zyklisch vertauschen, wodurch sich der unitäre Operator und sein inverser Operator gegenseitig auslöschen. Wenn also für \( \epsilon \rightarrow 0 \) die Operatoren, die die Prozesse treiben, einen Grenzwert der Gestalt \( \hat{U}_F \otimes \hat{U}_W \) haben, dann haben wir noch kein Paradoxon vorliegen. Für den Prozess Typ 2 ist sofort einsichtig, dass es so ist, denn der unitäre Operator lässt sich mit Hamilton-Operatoren so darstellen
\begin{equation}
\hat{U} = e^{ - \frac{i}{\hbar} (\hat{H}_F \otimes \hat{1}_W + \hat{1}_F \otimes \hat{H}_W + \epsilon \hat{h}_{WW}) t }
\end{equation}
Für den Prozess Typ 1 können wir nichts herleiten, denn er befindet sich bisher in keinem mathematischen Modell. Niemand weiß, wann und warum er stattfindet. Um das Paradoxon zu vermeiden, müssen wir allerdings für Prozess Typ 1 ein gleichartiges Grenzwertverhalten annehmen wie für Prozess Typ 2. Damit haben wir etwas dazugelernt über den mysteriösen Typ 1!

Nun können wir der Frage nachgehen, ob es für W einen Unterschied macht, ob F einen unabhängigen Prozess Typ 1 erfahren hat - was ja, wie wir oben gesehen haben, möglich ist, da sich beide anfangs in einem Produktzustand befinden sollen - oder nicht. Auf eine bildliche Darstellung müssen wir verzichten. Denn ein Qubit als kleinster Hilbertraum hat bereits \(2 \cdot 2^1 - 1 = 3\) reelle Freiheitsgrade. Für die Kopplung zweier Räume brauchen wir wenigstens \(2 \cdot 2^2 - 1 = 7\) reelle Freiheitsgrade, selbst bei Vernachlässigung der globalen Phase noch 6 Dimensionen für die bildliche Darstellung.

Starten wir mit Ws Sicht, dann befindet sich F in einem überlagerten Zustand, bis W sich mit F in einer idealen von-Neumann-Messung verschränkt. Am Ende, mit dem Eintreten der Information in Ws Bewusstsein, springt der Weltzustandsvektor in der verwendeten Basis mit der Wahrscheinlichkeit \( |a_i|^2 \) auf den Wert \( |a_i>|F_i>|W_i> \).
\begin{equation}
W:\quad
\sum_i a_i |a_i>|F_0>|W_0>
\xrightarrow[Messung]{\hat{U}_1}
\sum_i a_i |a_i>|F_i>|W_0>
\xrightarrow[Messung]{\hat{U}_2}
\sum_i a_i |a_i>|F_i>|W_i>
\xrightarrow[Prozess\ 1]{p = |a_i|^2}
|a_i>|F_i>|W_i>
\end{equation}

Aus Fs Sicht springt der Zustandsvektor im Unterraum \( \mathbb{H}_A \otimes \mathbb{H}_F \) bereits vorher mit der Wahrscheinlichkeit \( |a_i|^2 \) auf den Wert \( |a_i>|F_i> \).

\begin{equation}
F:\quad
\sum_i a_i |a_i>|F_0>|W_0>
\xrightarrow[Messung]{\hat{U}_1}
\sum_i a_i |a_i>|F_i>|W_0>
\xrightarrow[Prozess\ 1]{p = |a_i|^2}
|a_i>|F_i>|W_0>
\xrightarrow[Messung]{\hat{U}_2}
|a_i>|F_i>|W_i>
\end{equation}

In der Folge führt Ws ideale von-Neumann-Messung mit Sicherheit auf denselben Zustand \( |a_i>|F_i>|W_i> \). Das ist auch noch nicht paradox, denn die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Ausgänge sind beidesmal gleich. Aber W könnte auf die Idee kommen, in einer ganz anderen Basis \( \{ | R_j > \} \) zu messen. Wir setzen

\begin{equation}
\sum_i a_i |a_i>|F_i> \equiv | R_j >
\end{equation}

In der R-Basis wird der nicht-überlagerte Zustand zu einer Überlagerung

\begin{equation}
|a_i>|F_i> \equiv \sum_j r_j | R_j >
\end{equation}
Wir bekommen
\begin{equation}
W:\quad
\sum_i a_i |a_i>|F_0>|W_0>
\xrightarrow[Messung]{\hat{U}_1}
\sum_i a_i |a_i>|F_i>|W_0> \equiv |R_j>|W_0>
\xrightarrow[Messung]{\hat{U}_3}
|R_j>|W_j>
\end{equation}

Für W wird mit der Wahrscheinlichkeit 1 der Zustand \( |R_j>|W_j> \) erreicht, welcher bedeutet „F und das Quantending haben sich wie erwartet verschränkt“. Andererseits

\begin{equation}
F:\quad
\sum_i a_i |a_i>|F_0>|W_0>
\xrightarrow[Messung]{\hat{U}_1}
\sum_i a_i |a_i>|F_i>|W_0>
\xrightarrow[Prozess\ 1]{p = |a_i|^2}
|a_i>|F_i>|W_0> \equiv \sum_j r_j |R_j> |W_0>
\xrightarrow[Messung]{\hat{U}_3}
\sum_j r_j |R_j>|W_j>
\end{equation}

würde die zu erwartende Verschränkung am Ende nur mit der Warscheinlichkeit \( |r_j|^2 \) angezeigt werden. Das ist paradox.

Wenigstens eine der beiden Sichten sollte also falsch sein, und wenigstens theoretisch sind Experimente möglich, die bei der Sichtwahl behilflich sein sollten. Welche Auswege gibt es, wenn man nicht auf die Viele-Welten-Interpretation mit ihren Schwierigkeiten ausweichen will? Die erste Ausflucht besteht darin, Ws Sicht zu verneinen. Dann könnte Fs Sicht richtig sein. Die bewusste Beobachtung durch F würde im Allgemeinen also zu einem anderen Gesamtprozess führen. Doch was, wenn F kein bewusster Beobachter wäre, sondern nur ein tumber Apparat ohne Bewusstsein? Dann müsste Ws Erwartung eintreffen, denn ohne Beobachtung soll kein Prozess 1 stattfinden. Wenn der Apparat jetzt ein biologischer wäre, immer ausgeklügelter, vielleicht doch irgendwann Bewusstsein bekäme, dann müsste doch wieder Fs Sicht die richtige sein. Sollte in der Evolution ein vollkommen abrupter Wechsel von nicht-bewusstem zu bewusstem Leben möglich sein mit einhergehender prinzipieller Auswirkung auf beobachtete Quantenprozesse, die plötzlich ganz anders ablaufen müssten?

Nach einer Woche

In Everetts Experiment interessiert sich W dafür, wie der Notizbucheintrag nach einer Woche aussieht. Macht das einen Unterschied zum bisher Gesagten? \( |F> \) steht ja für den Zustand von Freund und Notizbuch (und isoliertem Raum), also für einige Dichteoperatoren. Man muss nur lange genug warten, und das Notizbuch wird vom Zahn der Zeit zerkaut worden sein. An dieser Stelle ist ganz wichtig zu erkennen, dass mit der Verschränkung Fs mit dem Quantending nicht nur jeweils ein Vektor von Fs Raum mit einem Vektor des Quantendings in Beziehung tritt, sondern ein makroskopischer Unterraum von \( \mathbb{H}_F \). Dadurch wird die Information über den Quantenzustand hochredundant codiert und robuster gegen den Zahn der Zeit. W braucht das Notizbuch nicht in einem ganz bestimmten Zustand zu finden, um herauszufinden, wie das Quantenexperiment ausgegangen ist. Es reicht, wenn er \( |F> \) in einem bestimmten hochdimensionalen Unterraum von \( \mathbb{H}_F \) findet. Für W bedeuten viele verschiedene Mikrozustände \( |F_i> \) denselben Ausgang des Quantenexperiments. Die \( |W> \) und \( |F> \) stehen also nicht für einzelne Quantenzustände, sondern fassen jeweils riesige Unterräume zusammen.

Nach Abschluss des Quantenexperiments soll das Quantending in Ruhe gelassen werden. Das bedeutet, es gibt keine Wechselwirkung mehr zwischen \( \mathbb{H}_A \) und \( \mathbb{H}_F \), die an deren Verschränkung etwas ändern könnte. Unter dieser Voraussetzung macht es also keinen Unterschied, ob man eine Woche wartet oder nicht. Da es nach der Messung keine Wechselwirkung zum Quantending mehr geben soll, nagt der Zahn der Zeit ausschließlich in den makroskopischen Räumen.

Welche Auswege gibt es jetzt noch?

Interessanterweise zählt Everett verschiedene Auswege auf, unter anderem diesen:

Alternative 1: Die Existenz von nur einem einzigen Beobachter im Universum muss postuliert werden. Das ist die Position des Solipsismus, auf der „jeder von uns“ die Meinung haben muss, er allein sei der allein gültige Beobachter, während der Rest des Universums und alle seine Einwohner jederzeit Prozess 2 gehorchen, es sei denn sie werden von ihm beobachtet. Diese Sicht ist vollauf konsistent, ...
doch sie widersprach offensichtlich Everetts Gefühlen.

Wenn wir den Prozess 1 behalten wollen, dann müssen wir Fs Sicht erlauben. Wenn wir Fs Sicht erlauben wollen, dann können wir keine Grenze zwischen bewusster und unbewusster Natur aufrechterhalten. Es ist nicht unbedingt so, dass wir Apparaten Bewusstsein zugestehen müssen, im Sinne, dass sie dieses beinhalten. Doch Bewusstwerden in einem All-Bewusstwerden ist stets jederzeit möglich. Die Frage, die dann übrig bleibt, ist „nur noch“: wie folgt aus einem All-Bewusstwerden die Vorstellung eines Einzelbewusstseins?

Für das Behalten von Prozess 1 spricht außerdem eine vage Hoffnung. In der gesamten Physik findet sich keine Erklärung für den Pfeil der Zeit [Zeh-T]. Dennoch empfinden wir diesen. Der Prozess 1 hat die angenehme Eigenschaft, einen Produktzustand (der natürlich nur bei bestimmten gedachten Hilbertraumteilungen ein solcher ist) bewusst werden zu lassen. Ausgehend von diesem Produktzustand kann die Verschränkungsentropie nur noch anwachsen. Und dies könnte uns am Ende zum unerklärlichen 2. Hauptsatz \( \Delta S \geq 0 \) und zum Pfeil der Zeit führen. Um hier zum Ziel zu gelangen, müsste das Bewusstwerden sich auf Prozesse des Typs 1 beschränken, die auf einen Produktzustand hüpfen. In nicht minderer Ungeheuerlichkeit wie der VWI lässt sich spekulieren, dass es an jeder denkbaren Hilbertraumteilung Bewusstwerden geben könnte, immer dann wenn das Ziel ein Produktzustand der Teilräume ist. Dieses Bewusstwerden fände im gesamten All gleichzeitig statt für all jene Hilbertraumgrenzen, die nach dem Sprung spaltbare Produkte liefern. Die Anzahl dieser Hilbertraumgrenzen dürfte stets unendlich sein, wenn wir Dirac-Vektoren zulassen wollen. Wir haben jedoch an anderer Stelle gesehen, dass es Indizien für eine Körnung der Natur gibt, für eine Körnung auch in der Raumzeit-Basis, was diese Vorstellung ein Bisschen weniger ungeheuerlich erscheinen lässt.

Das Bewusstwerden nach Prozess Typ 1 muss in der nicht-relativistischen Theorie ein gemeinsamer Akt des Alls sein. Der Weltzustandsvektor hüpft und reißt dabei alles Mögliche mit sich. Die Dimensionen, in deren Richtung er bei einem bestimmten Sprung nicht hüpft, lässt er jedoch unbeeindruckt. Es dürfen also Dinge verborgen bleiben. Über eines muss man sich im Klaren sein: Verschränkung in vielen Dimensionen ist der Normalfall in einer Makrowelt. In einem Kontinuum mit Dirac-Vektoren wäre das Erreichen eines Produktzustands an einer zufällig gewählten Hilbertraumteilung höchstens am Sankt-Nimmerleins-Tag zu erreichen, ähnlich dem zufälligen Erreichen des absoluten Temperaturnullpunkts an einer Stelle des Alls.

Aufgrund der möglichen hohen Entropie „elementarer“ Massen lässt sich in vollkommener Umkehrung der VWI sogar der Prozess Typ 2 anzweifeln: er könnte ein näherungsweises Kontinuum aus sehr feinen Sprüngen sein, die in unseren unfertigen Theorien in Massen- und andere Konstanten eingekapselt und damit versteckt werden. Unsere bisherigen quantenmechanischen Bewegungsgleichungen könnten nichts anderes sein wie thermodynamische Gleichungen der Art \( pV = nRT \) die Makrogrößen in Beziehung bringen, hinter denen ein ganz anderes vielfach komplizierteres Geschehen verborgen bleibt. Eine Protonenentropie von \( 10^{40} \) ist durchaus als makroskopisch zu bezeichnen.

Wäre der Prozess Typ 1 der einzig verbliebene, dann hätten wir keine objektiven Prozesse mehr in der Welt, sondern nur noch stochastische Prozesse des Bewusstwerdens. An dieser Stelle bietet sich die Chance der Verknüpfung der Quantentheorie mit der Theorie der Wahrnehmung bewusster Agenten.

TODO: Görnitz zitiert Zeh, wie er die Lokalisierung des Bewusstseins das eigentliche Rätsel nennt.

nl kollapstheorien erwähnen

Teilkollaps nur wenn Welten getrennt (entschränkt, Produktzustand). Würde jedoch T=0 bedeuten, nicht erreichbar, siehe Entropie-Kapitel ( a href=... ).
Fazit: Prozess 1 findet für alle Beteiligten zusammen (nicht-relativistisch gleichzeitig statt). Bewusstseine ändern ihre Zustände immer gemeinsam.
Hinweis Zusammenhang delta S >= 0: wenn nur Produktzustände bewusst werden, dann erscheint 2. Hauptsatz plötzlich verständlich, denn von dort aus kann Verschränkung nur größer werden.
Doch auf welcher Trennung arbeiten die Bewusstseine? Auf denen die max. Verschränkung erreichen? Auf allen denkbareb? Unendlich viele Bewusstseine? Ist das falsifizierbar?
Zusammenhang mit Hoffman Consious Agents (Observer Mechanics?). Verborgene Variablen für die fehlenden Größen: Wille, Schmerz und Lust.